아래와 같은 세 함수가 있다고 합시다.
$z=f(u,v)$
$u=g(x,y)$
$v=h(x,y)$
함수 f에 전미분 공식을 이용하여 아래 식을 얻을 수 있습니다.
$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$ (1)
함수 g와 h에 전미분 공식을 적용하면 아래 두 식을 더 얻을 수 있습니다.
$du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy$
$dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy$
du와 dv 를 f의 전미분 공식인 1번 식에 대입합니다.
$dz=\frac{\partial z}{\partial u}\left ( \frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy \right )+\frac{\partial z}{\partial v}\left ( \frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy \right )$
위 식을 아래와 같이 변형합시다.
$dz=\left ( \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} \right )dx+\left ( \frac{\partial z}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \right )dy$
위 식을 1번식과 비교하면 아래 식을 얻습니다.
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
요악하면 이렇습니다. 아래와 같은 함수관계가 있다고 합시다.
이때 z 를 x로 편미분한 결과는 아래와 같습니다.
$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
z를 y로 편미분한 결과는 아래와 같습니다.
$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$
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