[5분 고등수학] 삼각함수의 극한

 

 

삼각함수에는 아래와 같은 두가지 유명한(?) 극한이 있습니다. 상당히 흥미로운 결과입니다. 

$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1$

 

하나씩 유도해 봅시다. 

 

 

1) $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

원을 하나 그리고 꼭지점이 원의 중심과 호 위에 있는 삼각형을 그려줍니다. 

 

점 A를 지나는 점선을 긋고, OB의 연장선과 만나는 점을 T라고 놓겠습니다. 

 

 

 

이때 아래와 같은 부등식이 성립합니다. 

 

△OAB의 넓이 < 부채꼴 OAB 넓이 < △OAT의 넓이 

 

부등식을 수식으로 표현하면 아래와 같습니다. 

 

$\frac{1}{2}\sin x<\frac{1}{2}x<\frac{1}{2}\tan x$

 

각 변에 2를 곱하고, $\sin x$로 나눠줍니다. 

 

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{\tan x}{\sin x}$

 

tan의 성질을 이용하여 아래와 같이 변형합니다. 

 

$1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}$

 

역수를 취합니다. 역수를 취하면 부호가 바뀝니다. 

 

$1>\frac{\sin x}{x}<\cos x$

 

아래와 같이 극한을 취해줍니다. 위 그림에서 x는 항상 양수여야 하므로 0에서의 우극한을 취해줍니다. 

 

$\lim_{x\to 0+}1>\lim_{x\to 0+}\frac{\sin x}{x}<\lim_{x\to 0+}\cos x$

 

양변이 1로 수렴하므로 극한값은 아래와 같습니다. 

 

$\lim_{x\to 0+}\frac{\sin x}{x}=1$

 

좌극한도 수렴함을 보여야 0에서의 극한값을 구할 수 있습니다.

 

x를 -t로 치환합시다. 

 

$\lim_{t\to 0-}\frac{\sin -t}{-t}=1$

 

$\sin t$는 $-\sin t$입니다. 

 

$\lim_{t\to 0-}\frac{-\sin t}{-t}=1$

 

-1을 약분합니다. 

 

$\lim_{t\to 0-}\frac{\sin t}{t}=1$ 

 

0에서의 좌극한도 1로 수렴합니다. 따라서 아래 극한을 얻습니다. 

 

$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

 

 

2) $\lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x}=1$

tan의 성질에 의해 아래 등식이 만족합니다. 

 

$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\frac{\sin x}{x}$

 

우변의 두 항 모두 수렴하므로 아래와 같이 분리할 수 있습니다. 

 

$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos x}\cdot \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$

 

두변의 두항 모두 1로 수렴하므로 아래 극한값이 성립합니다. 

 

$\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1$